Διαφορικός Λογισμός

Πρώτες μερικές παράγωγοι και προσδιορισμός τιμών τους σε σημείο.

Clear["Global`*"] f[x_, y_] := 1/(x^2 + y^2 + 1); fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] fDx[x, y] fDx[2,3] Επίσης: Derivative[1, 0][f][2, 3] Derivative[0, 1][f][2, 3]

Ανώτερες μερικές παράγωγοι και προσδιορισμός τιμών τους σε σημείο.

fxx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {x, 2}]] fxy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x, y]] Έχουμε: fxx[x, y] fxy[x, y] Επίσης: Derivative[2, 0][f][2, 3] Derivative[1, 1][f][2, 3]

Ανάδελτα - Εσσιανή

gradient[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}]] MatrixForm[gradient[x, y]] hessian[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}, {{x, y}}]] hessian[x,y]//MatrixForm

Ακρότατα

Αυτόματα

#### Συναρτήσεις μίας μεταβλητής Clear["Global`*"] f[x_] := 36 x^2 - 20 x^3 + 3 x^4 Plot[f[x], {x, -2, 4}] FindMinimum[f[x], {x, 2.5, 4}] FindMaximum[f[x], {x, 1, 2.5}] Minimize[f[x], 2.5 <= x <= 4, {x}] Maximize[f[x], 1 <= x <= 2.5, {x}] NMinimize[f[x], 2.5 <= x <= 4, {x}] NMaximize[f[x], 1 <= x <= 2.5, {x}] #### Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Clear["Global`*"] f[x_, y_] := x y Exp[-x^2 - y^2] Minimize[f[x, y], {-3 <= x <= 3, -3 <= y <= 3}, {x, y}] FindMinimum[{f[x, y], -3 <= x <= 3 && -3 <= y <= 3}, {x, y}]

Κατεύθυνση ανάδελτα

Clear["Global`*"] f[x_, y_] := 1/(x^2 + y^2 + 1); xmin = -2; xmax = 2; ymin = -2; ymax = 2; Plot3D[f[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, MeshFunctions -> {#3 &} , MeshStyle -> {Gray}, AxesLabel -> Automatic, ClippingStyle -> None, ColorFunction -> "DarkRainbow", PlotRange -> All, PlotPoints -> 50] fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] Οι μερικές παράγωγοι είναι: fDx[x, y] fDy[x, y] Και το ανάδελτα: gradient[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}]]; MatrixForm[gradient[x, y]] Μηδενισμός ανάδελτα στο: systemD = Solve[{fDx[x, y] == 0, fDy[x, y] == 0}, {x, y}]; {x, y} /. systemD StreamPlot[gradient[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, PlotLegends -> Automatic]

Κριτήρια Εσσιανής

Clear["Global`*"] min0 = -1; max0 = 4; f[x1_, x2_] := x1 x2^3 - 3 x1 x2^2 + x2 x1^3 - 3 x2 x1^2 Plot3D[f[x, y], {x, min0, max0}, {y, min0, max0}, MeshFunctions -> {#3 &}, MeshStyle -> {Gray}, AxesLabel -> Automatic, ClippingStyle -> None, ColorFunction -> "Rainbow", PlotPoints -> 50, PlotLegends -> Automatic] Εύρεση κρίσιμων σημείων fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] systemD = Solve[{fDx[x, y] == 0, fDy[x, y] == 0}, {x, y}] // N fDx2[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {x, 2}]] (*Αν θέλουμε απλά την ορίζουσα της Εσσιανής, γράφουμε*) detHessian[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {x, 2}]*D[f[x, y], {y, 2}] - D[f[x, y], x, y]^2] fDx2[x, y] /. systemD // N detHessian[x, y] /. systemD // N Έτσι: - Για το ζεύγος (0,0) δεν μπορούμε ν' αποφανθούμε, αφού Η=0. - Τα ζεύγη (0,3) και (3,0) είναι σαγματικά, αφού Η<0. - Το ζεύγος (2.25, 2.25) είναι ελάχιστο, αφού Η>0 και $\partial_{xx} f(2.25,2.25)>0$. - Τα ζεύγη (-0.31066, 1.81066) και (1.81066, -0.31066) είναι μέγιστα, αφού Η>0 και $\partial_{xx} f(x_ 0, y_ 0)<0$. #### Μέγιστο Clear["Global`*"] fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] f[x_, y_] := 1/(x^2 + y^2 + 1); systemD = Solve[{fDx[x, y] == 0, fDy[x, y] == 0}, {x, y}]; Plot3D[f[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, MeshFunctions -> {#3 &} , MeshStyle -> {Gray}, AxesLabel -> Automatic, ClippingStyle -> None, ColorFunction -> "DarkRainbow", PlotRange -> All, PlotPoints -> 50] hessian[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}, {{x, y}}]] Η Εσσιανή είναι: MatrixForm[hessian[x, y]] Και η ορίζουσά της: Det[hessian[x, y]] Επίσης $\partial f(0,0)=$ fDx2[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {x, 2}]] fDx2[x, y]/. systemD Επίσης τιμή της ορίζουσας της εσσιανής στη θέση ισορροπίας \ είναι: Det[hessian[x, y]] /. systemD Επομένως έχουμε Μέγιστο. #### Ελάχιστο Clear["Global`*"] fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] f[x_, y_] := -(1/(x^2 + y^2 + 1)); systemD = Solve[{fDx[x, y] == 0, fDy[x, y] == 0}, {x, y}]; Plot3D[f[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, MeshFunctions -> {#3 &} , MeshStyle -> {Gray}, AxesLabel -> Automatic, ClippingStyle -> None, ColorFunction -> "DarkRainbow", PlotRange -> All, PlotPoints -> 50] hessian[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}, {{x, y}}]] Η Εσσιανή είναι: MatrixForm[hessian[x,y]] Και η ορίζουσά της: Det[hessian[x, y]] Επίσης $\partial f(0,0)=$ fDx2[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {x, 2}]] fDx2[x, y] /. systemD Επίσης τιμή της ορίζουσας της εσσιανής στη θέση ισορροπίας είναι: Det[hessian[x, y]] /. systemD Επομένως έχουμε Ελάχιστο. #### Σαγματικό σημείο Clear["Global`*"] fDx[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], x]] fDy[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], y]] f[x_, y_] := y^2 - x^2; systemD = Solve[{fDx[x, y] == 0, fDy[x, y] == 0}, {x, y}]; Plot3D[f[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, MeshFunctions -> {#3 &} , MeshStyle -> {Gray}, AxesLabel -> Automatic, ClippingStyle -> None, ColorFunction -> "DarkRainbow", PlotRange -> All, PlotPoints -> 50] Η Εσσιανή είναι: hessian[x_, y_] := Evaluate[D[f[x, y], {{x, y}}, {{x, y}}]] MatrixForm[hessian[x, y]] Και η ορίζουσά της: Det[hessian[x, y]] Η τιμή της ορίζουσας της εσσιανής στη θέση ισορροπίας είναι: Det[hessian[x, y]] /. systemD Επομένως έχουμε Σαγματικό Σημείο